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Claude：

1. 数学公式测试

行内公式

这是一个简单的行内公式 \(E = mc^2\)，以及更复杂的 \(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}\)。

块级公式

傅里叶变换：

\[ \mathcal{F}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]

麦克斯韦方程组：

\[ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\ \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\ \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_0\mathbf{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align} \]

矩阵运算：

\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix} \]

分段函数：

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{if } x \geq 0 \\ -x^2 & \text{if } x < 0 \end{cases} \]

求和与极限：

\[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2 + i^2} = \frac{\pi}{4} \]

复杂积分：

\[ \oint_C \frac{e^z}{z(z-1)} dz = 2\pi i \left(\text{Res}_{z=0} + \text{Res}_{z=1}\right) \]

2. 代码块测试

C++ 代码示例

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

template<typename T>
class SmartPointer {
private:
    T* ptr;
    size_t* ref_count;

public:
    explicit SmartPointer(T* p = nullptr) 
        : ptr(p), ref_count(new size_t(1)) {}

    ~SmartPointer() {
        if (--(*ref_count) == 0) {
            delete ptr;
            delete ref_count;
        }
    }

    T& operator*() const { return *ptr; }
    T* operator->() const { return ptr; }
};

int main() {
    std::vector<int> nums = {5, 2, 8, 1, 9};
    std::sort(nums.begin(), nums.end());

    for (const auto& num : nums) {
        std::cout << num << " ";
    }
    return 0;
}

Python 代码

def fibonacci_generator(n):
    """生成斐波那契数列的前 n 项"""
    a, b = 0, 1
    for _ in range(n):
        yield a
        a, b = b, a + b

# 使用列表推导式
fib_list = [x for x in fibonacci_generator(10)]
print(fib_list)

JavaScript 代码

const quickSort = (arr) => {
    if (arr.length <= 1) return arr;

    const pivot = arr[Math.floor(arr.length / 2)];
    const left = arr.filter(x => x < pivot);
    const middle = arr.filter(x => x === pivot);
    const right = arr.filter(x => x > pivot);

    return [...quickSort(left), ...middle, ...quickSort(right)];
};

3. 混合内容测试

算法复杂度分析

快速排序的平均时间复杂度为 \(O(n \log n)\)，其递推关系可表示为：

\[ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n) \]

根据主定理（Master Theorem），当 \(a = 2\), \(b = 2\), \(f(n) = n\) 时：

\[ T(n) = \Theta(n \log n) \]

物理公式与代码结合

薛定谔方程描述了量子系统的演化：

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t) \]

其中哈密顿算符 \(\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})\)

数值求解示例：

// 使用有限差分法求解一维薛定谔方程
void solve_schrodinger_1d(
    std::vector<double>& psi,
    const std::vector<double>& V,
    double dx, double dt, double hbar, double m
) {
    const double alpha = hbar * dt / (2.0 * m * dx * dx);
    // 实现细节...
}

4. 表格与公式结合

算法 平均复杂度 最坏复杂度 空间复杂度
快速排序 \(O(n \log n)\) \(O(n^2)\) \(O(\log n)\)
归并排序 \(O(n \log n)\) \(O(n \log n)\) \(O(n)\)
堆排序 \(O(n \log n)\) \(O(n \log n)\) \(O(1)\)
冒泡排序 \(O(n^2)\) \(O(n^2)\) \(O(1)\)

5. 嵌套列表与公式

  1. 线性代数基础
  2. 向量空间：一个集合 \(V\) 及其上的加法和标量乘法运算
  3. 内积空间：定义了内积 \(\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\) 的向量空间

  4. 范数：\(\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\langle \mathbf{x}, \mathbf{x} \rangle}\)

  5. 特征值分解

  6. 对于方阵 \(A\)，若存在 \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) 使得： \(\(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)\)

  7. 则 \(\lambda\) 是特征值，\(\mathbf{v}\) 是对应的特征向量

  8. 应用示例

// 计算矩阵的特征值（简化版本）
Eigen::MatrixXd A(3, 3);
A << 1, 2, 3,
     4, 5, 6,
     7, 8, 9;

Eigen::EigenSolver<Eigen::MatrixXd> solver(A);
std::cout << "特征值：\n" << solver.eigenvalues() << std::endl;

6. 引用块与公式

定理（柯西-施瓦茨不等式）

对于任意向量 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\)，有：

\[ |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\| \]

等号成立当且仅当 \(\mathbf{u}\) 和 \(\mathbf{v}\) 线性相关。

证明思路：构造二次函数 \(f(t) = \|\mathbf{u} - t\mathbf{v}\|^2 \geq 0\)，展开后利用判别式 \(\Delta \leq 0\) 即可证明。

7. 复杂的数学表达式

贝叶斯定理：

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{\sum_{i} P(B|A_i) \cdot P(A_i)} \]

泰勒级数展开：

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots \]

常用函数的展开：

\[ \begin{aligned} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \sin(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\ \cos(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \end{aligned} \]

8. 希腊字母和特殊符号测试

常用希腊字母：\(\alpha, \beta, \gamma, \delta, \epsilon, \zeta, \eta, \theta, \lambda, \mu, \pi, \rho, \sigma, \tau, \phi, \chi, \psi, \omega\)

大写希腊字母：\(\Gamma, \Delta, \Theta, \Lambda, \Xi, \Pi, \Sigma, \Phi, \Psi, \Omega\)

特殊运算符：\(\nabla, \partial, \infty, \forall, \exists, \in, \notin, \subset, \supset, \cup, \cap, \emptyset\)

箭头符号：\(\rightarrow, \leftarrow, \Rightarrow, \Leftarrow, \leftrightarrow, \Leftrightarrow\)

9. 多行对齐公式

\[ \begin{align} (a + b)^3 &= (a + b)(a + b)^2 \\ &= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) \\ &= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 \\ &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{align} \]

10. 组合内容压力测试

在机器学习中，我们经常需要优化损失函数。对于线性回归，损失函数为：

\[ L(\mathbf{w}) = \frac{1}{2n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \mathbf{w}^T\mathbf{x}_i)^2 + \frac{\lambda}{2}\|\mathbf{w}\|^2 \]

其梯度为：

\[ \nabla L(\mathbf{w}) = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i - \mathbf{w}^T\mathbf{x}_i)\mathbf{x}_i + \lambda\mathbf{w} \]

实现代码：

#include <Eigen/Dense>

Eigen::VectorXd gradient_descent(
    const Eigen::MatrixXd& X,
    const Eigen::VectorXd& y,
    double lambda,
    double learning_rate,
    int iterations
) {
    int n = X.rows();
    int d = X.cols();
    Eigen::VectorXd w = Eigen::VectorXd::Zero(d);

    for (int iter = 0; iter < iterations; ++iter) {
        Eigen::VectorXd predictions = X * w;
        Eigen::VectorXd errors = y - predictions;
        Eigen::VectorXd gradient = -(X.transpose() * errors) / n + lambda * w;
        w -= learning_rate * gradient;
    }

    return w;
}

这套测试内容涵盖了：
- ✓ 行内和块级公式
- ✓ 复杂数学符号
- ✓ 多种编程语言代码高亮
- ✓ 表格、列表、引用块
- ✓ 公式与文本的混合排版
- ✓ 多行对齐公式
- ✓ 矩阵、求和、积分等复杂表达式

这些内容应该能充分测试你的博客程序对 LaTeX 和 Markdown 的渲染能力！

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